teorema di de L’Hôpital

Siano f(x), g(x) due funzioni derivabili in \{[a, b]-x_0\} tali che

    \[\lim_{x\to\ x_0}f(x)=\lim_{x\to\ x_0}g(x)=0;\]

se si verifica che:

  • per qualunque punto x dell’insieme \{[a, b]-x_0\} risulta g'(x)\neq 0,
  • esiste il limite per x \rightarrow x_0 del rapporto f'(x)/g'(x),

allora esiste anche il limite per x \rightarrow x_0 del rapporto f(x)/g(x) e si ha che

    \[\lim_{x\to\ x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to\ x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}.\]

Da notare che il teorema risulta valido anche nei casi in cui:

  • si considera il limite destro x \rightarrow x_0^+ o il limite sinistro x \rightarrow x_0^- del rapporto f(x)/g(x);
  • si verifica che il limite per x \rightarrow x_0 di entrambe le funzioni f(x), g(x) o della sola funzione g(x) sia \pm \infty;
  • entrambe le funzioni f(x), g(x) sono derivabili in intervalli illimitati e si considera il limite per x \rightarrow +\infty oppure per x \rightarrow -\infty del rapporto f(x)/g(x).