convessità e concavità

Una funzione f(x) definita nell’intervallo [a, b] e derivabile nel punto x_0 \in (a, b) si dice convessa – ovvero volge la concavità verso l’alto nel punto x_0 – se è possibile determinare un valore \delta>0 tale che per qualunque punto x_0 \in (a, b) per il quale |x-x_0|<\delta si verifica la condizione

    \[f(x)\geq f(x_0)+f'(x_0) \cdot (x-x_0).\]

Analogamente, una funzione f(x) definita nell’intervallo [a, b] e derivabile nel punto x_0 \in (a, b) si dice concava – ovvero volge la concavità verso il basso nel punto x_0 – se è possibile determinare un valore \delta>0 tale che per qualunque punto x_0 \in (a, b) per il quale |x-x_0|<\delta si verifica la condizione

    \[f(x)\leq f(x_0)+f'(x_0) \cdot (x-x_0).\]

Da un punto di vista geometrico, poiché l’espressione f(x_0)+f'(x_0) \cdot (x-x_0) rappresenta l’equazione della retta t tangente al grafico della funzione f(x) nel punto di coordinate [x_0, f(x_0)] la convessità o concavità della funzione f(x) nel punto x_0 esprime la circostanza che in un conveniente intorno del punto x_0 il grafico della funzione si mantiene rispettivamente al di sopra o al di sotto della retta tangente t.

Una funzione f(x) si dice convessa o concava in un intervallo  (a, b) se è rispettivamente convessa o concava in ogni punto dell’intervallo.