rappresentazione trigonometrica di un numero complesso


Consideriamo un numero complesso z=a+ib e la sua rappresentazione cartesiana P(a; b) nel piano complesso. La posizione nel piano del punto P può essere individuata – rispetto al polo O e all’asse polare x – anche attraverso le sue coordinate polari (\rho; \theta) dove

    \[\rho=\overline{OP}=|z|=\sqrt{a^2+b^2}\]

è il modulo del numero complesso |z| e rappresenta la distanza del punto P dal polo O mentre \theta viene chiamato argomento di |z| e rappresenta l’angolo, misurato in senso antiorario, che l’asse x deve spazzare per sovrapporsi alla retta OP.

rappresentazione trigonometrica numero complesso

Poiché si ha a=\rho \cos\theta e b=\rho \sin\theta, possiamo esprimere il numero z attraverso la relazione

    \[z=\rho \cos{\theta+i\rho \sin\theta=\rho(\cos{\theta+i\sin\theta)\]

che fornisce la rappresentazione trigonometrica del numero complesso z.