prodotto di due numeri complessi

Dati due numeri complessi z_1=a_1+ib_1, z_2=a_2+ib_2, il prodotto z_1 \cdot z_2 è il numero complesso

    \[z_1 \cdot z_2=(a_1a_2-b_1b_2)+i(a_1b_2+a_2b_1).\]

Utilizzando la rappresentazione trigonometrica  z=\rho(\cos{\theta+i\sin\theta), il numero complesso prodotto z_1 \cdot z_2 si esprime nella forma

    \[z_1 \cdot z_2=\rho_1\rho_2[\cos{(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)]\]

ed ha come modulo il prodotto dei moduli \rho_1, \rho_2 e come argomento la somma degli argomenti \theta_1,\theta_2 dei numeri complessi z_1, z_2.

Si noti che il prodotto di un numero complesso z=a+ib con il suo coniugato \overline z=a-ib è uguale al numero reale

    \[z \cdot \overline z=a^2+b^2=\rho^2\]

che è la norma ||z||=\rho^2  del numero complesso z.