prodotto di due numeri complessi

Dati due numeri complessi $z_1=a_1+ib_1, z_2=a_2+ib_2$ , il prodotto $z_1 \cdot z_2$ è il numero complesso

$z_1 \cdot z_2=(a_1a_2-b_1b_2)+i(a_1b_2+a_2b_1).$

Utilizzando la rappresentazione trigonometrica $z=\rho(\cos{\theta+i\sin\theta)$ , il numero complesso prodotto $z_1 \cdot z_2$ si esprime nella forma

$z_1 \cdot z_2=\rho_1\rho_2[\cos{(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)]$

ed ha come modulo il prodotto dei moduli $\rho_1, \rho_2$ e come argomento la somma degli argomenti $\theta_1,\theta_2$ dei numeri complessi $z_1, z_2$ .

Si noti che il prodotto di un numero complesso $z=a+ib$ con il suo coniugato $\overline z=a-ib$ è uguale al numero reale

$z \cdot \overline z=a^2+b^2=\rho^2$

che è la norma $||z||=\rho^2$ del numero complesso $z$ .