esponenziale complesso

Dato un numero complesso $z=x+iy$ , l’esponenziale complesso $e^z$ si definisce come il numero complesso

$w=e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y).$

Ricordando la rappresentazione trigonometrica di un numero complesso, si deduce che il modulo $\rho$ e l’argomento $\theta$ di $w$ sono dati rispettivamente da $e^x$ e $y$ e pertanto il punto immagine $W$ nel piano $Oxy$ dell’esponenziale complesso $e^z$ appartiene alla circonferenza di centro l’origine e raggio $\rho=e^x$ e risulta determinato dall’intersezione di tale circonferenza con la semiretta di centro l’origine ruotata in senso antiorario di un angolo $\theta=y$ .

Da notare che se si pone $z=i\theta$ si ottiene

$e^{i\theta}=\cos \theta + i \sin \theta$

e quindi un numero complesso $z=x+iy$ può essere rappresentato, oltre che nella forma trigonometrica $z=\rho(\cos \theta + i \sin \theta)$ anche nella forma

$z=\rho e^{i\theta}$

che viene detta forma esponenziale.

Risolvendo inoltre il sistema

$e^{i\theta}=\cos \theta + i \sin \theta$

$e^{-i\theta}=\cos \theta - i \sin \theta$

rispetto a $\cos \theta, \sin \theta$

si ottengono le formule di Eulero

$\cos \theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2} ; \quad \sin \theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$

che consentono di trasformare le espressioni relative alle funzioni goniometriche in espressioni funzioni dell’esponenziale complesso.