esponenziale complesso – formule di Eulero

Dato un numero complesso z=x+iy, l’esponenziale complesso e^z si definisce come il numero complesso

    \[w=e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y).\]

Ricordando la rappresentazione trigonometrica di un numero complesso, si deduce che il modulo \rho e l’argomento \theta di w sono dati rispettivamente da e^x e y e pertanto il punto immagine W nel piano Oxy dell’esponenziale complesso e^z appartiene alla circonferenza di centro l’origine e raggio \rho=e^x e risulta determinato dall’intersezione di tale circonferenza con la semiretta di centro l’origine ruotata in senso antiorario di un angolo \theta=y.

Da notare che se si pone z=i\theta si ottiene

    \[e^{i\theta}=\cos \theta + i \sin \theta\]

e quindi un numero complesso z=x+iy può essere rappresentato, oltre che nella forma trigonometrica z=\rho(\cos \theta + i \sin \theta) anche nella forma

    \[z=\rho e^{i\theta}\]

che viene detta forma esponenziale.

Risolvendo inoltre il sistema

    \[e^{i\theta}=\cos \theta + i \sin \theta\]

    \[e^{-i\theta}=\cos \theta - i \sin \theta\]

rispetto a \cos \theta, \sin \theta

si ottengono le formule di Eulero 

    \[\cos \theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2} ; \quad  \sin \theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}\]

che consentono di trasformare le espressioni relative alle funzioni goniometriche in espressioni funzioni dell’esponenziale complesso.