Dato un numero complesso , l’esponenziale complesso
si definisce come il numero complesso
Ricordando la rappresentazione trigonometrica di un numero complesso, si deduce che il modulo e l’argomento
di
sono dati rispettivamente da
e
e pertanto il punto immagine
nel piano
dell’esponenziale complesso
appartiene alla circonferenza di centro l’origine e raggio
e risulta determinato dall’intersezione di tale circonferenza con la semiretta di centro l’origine ruotata in senso antiorario di un angolo
.
Da notare che se si pone si ottiene
e quindi un numero complesso può essere rappresentato, oltre che nella forma trigonometrica
anche nella forma
che viene detta forma esponenziale.
Risolvendo inoltre il sistema
rispetto a
si ottengono le formule di Eulero
che consentono di trasformare le espressioni relative alle funzioni goniometriche in espressioni funzioni dell’esponenziale complesso.