altre proprietà dei determinanti

Data una matrice A quadrata di ordine n valgono le seguenti proprietà:

  • scambiando fra loro due righe (o due colonne) della matrice A si ottiene una matrice B il cui determinante ha valore opposto a quello di A, cioè: det B=-det A;
  • moltiplicando una riga (o una colonna) di A per uno stesso numero \lambda si ottiene una matrice B il cui determinante ha un valore pari a \lambda volte quello di A, cioè: det B=\lambda det A;
  • moltiplicando tutti gli elementi di A per uno stesso numero \lambda si ottiene la matrice B=\lambda A il cui determinante ha un valore pari a \lambda^n volte quello di A cioè: det B=\lambda^n det A;
  • se gli elementi di una riga (colonna) sono polinomi di k termini ciascuno, il determinante risulta uguale alla somma dei determinanti delle k matrici A_i (i=1, 2, ..., k) che si ottengono da A ponendo ordinatamente al posto di ciascun polinomio successivamente ogni suo termine;
  • se agli elementi di una riga (colonna) di A si aggiungono gli elementi corrispondenti di un’altra riga (colonna) di A moltiplicati per uno stesso numero, il valore del determinante non cambia;
  • se agli elementi di una riga (colonna) di A si aggiunge una combinazione lineare di altre righe (colonne) di A, il valore del determinante non cambia.