alcune proprietà dei determinanti

Data una matrice $A$ quadrata di ordine $n$ valgono le seguenti proprietà:

scambiando fra loro due righe (o due colonne) della matrice $A$ si ottiene una matrice $B$ il cui determinante ha valore opposto a quello di $A$ , cioè: $det B=-det A;$
moltiplicando una riga (o una colonna) di $A$ per uno stesso numero $\lambda$ si ottiene una matrice $B$ il cui determinante ha un valore pari a $\lambda$ volte quello di $A$ , cioè: $det B=\lambda det A$ ;
moltiplicando tutti gli elementi di $A$ per uno stesso numero $\lambda$ si ottiene la matrice $B=\lambda A$ il cui determinante ha un valore pari a $\lambda^n$ volte quello di $A$ cioè: $det B=\lambda^n det A$ ;
se gli elementi di una riga (colonna) sono polinomi di $k$ termini ciascuno, il determinante risulta uguale alla somma dei determinanti delle $k$ matrici $A_i (i=1, 2, ..., k)$ che si ottengono da A ponendo ordinatamente al posto di ciascun polinomio successivamente ogni suo termine;
se agli elementi di una riga (colonna) di $A$ si aggiungono gli elementi corrispondenti di un’altra riga (colonna) di $A$ moltiplicati per uno stesso numero, il valore del determinante non cambia;
se agli elementi di una riga (colonna) di $A$ si aggiunge una combinazione lineare di altre righe (colonne) di $A$ , il valore del determinante non cambia.