prodotto righe per colonne di matrici

Si definisce matrice prodotto righe per colonne della matrice A(m \times n) per la matrice B(n \times h) la matrice C avente il numero m di righe di A e il numero h di colonne di B – quindi di tipo (m \times h) – il cui elemento generico c_{rs} è dato dalla somma dei prodotti degli elementi della riga r di A per i corrispondenti elementi della colonna s di B, ovvero:

    \[c_{rs}=a_{r1}b_{1s}+ a_{r2}b_{2s}+ ... + a_{rn}b_{ns}=\sum_{k=1}^{n} a_{rk}b_{ks}.\]

Risulta importante sottolineare che:

  • la definizione di prodotto di due matrici A e B  viene data solo nel caso in cui il numero delle colonne di A è uguale al numero delle righe di B;
  • se è possibile definire il prodotto AB, non è detto, in generale, che sia possibile definire il prodotto BA, ricorrendo questa possibilità solo quando le due matrici siano del tipo A(m \times n) e B(n \times m) nel qual caso è comunque da evidenziare che la matrice AB è del tipo (m \times m) mentre la matrice BA è del tipo (n \times n);
  • anche nel caso in cui sia possibile definire sia il prodotto AB che il prodotto BA, si ha in generale che AB \neq BA ovvero il prodotto righe per colonne di due matrici NON gode della proprietà commutativa;
  • per le matrici NON vale la legge di annullamento del prodotto in quanto la matrice prodotto  può essere uguale alla matrice nulla senza che né AB siano matrici nulle;
  • se A, B, C sono matrici e sono definiti i prodotti righe per colonne, valgono le proprietà:
    1. (AB)C=A(BC);
    2. (A+B)C=AC+BC;
    3. A(B+C)=AB+AC;
    4. (\lambda A)B=\lambda (AB)=A(\lambda B).
  • la matrice trasposta di un prodotto di matrici è uguale al prodotto delle trasposte delle matrici prese in ordine inverso, cioè:

        \[(AB)^T=B^T A^T.\]