prodotto associato ad una matrice

Si definisce prodotto associato ad una matrice A quadrata di ordine n, l’espressione

    \[(-1)^{h+k}a_{h_1k_1}\cdot a_{h_2k_2} \cdot ... \cdot a_{h_nk_n}\]

dove P_h=(h_1, h_2, ..., h_n) e P_k=(k_1, k_2, ..., k_n) sono due permutazioni (distinte o coincidenti) dei primi n numeri naturali (1, 2, ..., n) e h, k sono il numero totale delle inversioni rispettivamente di P_h, P_k.

Poiché sia i primi indici che i secondi di ciascun fattore della precedente espressione sono tutti diversi fra di loro, il prodotto associato ad una matrice è caratterizzato dal fatto che due qualunque dei suoi fattori non possono stare sulla stessa riga o sulla stessa colonna della matrice A .

Si noti che:

  • il fattore (-1)^{h+k} vale 1 se le permutazioni P_h, P_k sono della stessa classe (entrambe pari o entrambe dispari) mentre vale (-1) se sono di classe diversa;
  • il valore del prodotto associato non dipende dall’ordine dei suoi fattori (contrariamente a quanto si potrebbe pensare per la presenza del fattore (-1)^{h+k});
  • due prodotti associati alla stessa matrice sono distinti quando differiscono per almeno uno dei fattori;
  • il numero totale dei prodotti associati ad una matrice di ordine n è pari a n! (in quanto per ottenere tutti i prodotti associati è sufficiente tenere fissa la permutazione P_h=(h_1, h_2, ..., h_n) dei primi indici e far variare in tutti i modi possibili la permutazione P_k=(k_1, k_2, ..., k_n) dei secondi o viceversa).