prodotto associato ad una matrice

Si definisce prodotto associato ad una matrice $A$ quadrata di ordine $n$ , l’espressione

$(-1)^{h+k}a_{h_1k_1}\cdot a_{h_2k_2} \cdot ... \cdot a_{h_nk_n}$

dove $P_h=(h_1, h_2, ..., h_n)$ e $P_k=(k_1, k_2, ..., k_n)$ sono due permutazioni (distinte o coincidenti) dei primi $n$ numeri naturali $(1, 2, ..., n)$ e $h, k$ sono il numero totale delle inversioni rispettivamente di $P_h, P_k$ .

Poiché sia i primi indici che i secondi di ciascun fattore della precedente espressione sono tutti diversi fra di loro, il prodotto associato ad una matrice è caratterizzato dal fatto che due qualunque dei suoi fattori non possono stare sulla stessa riga o sulla stessa colonna della matrice $A$ .

Si noti che:

il fattore $(-1)^{h+k}$ vale 1 se le permutazioni $P_h, P_k$ sono della stessa classe (entrambe pari o entrambe dispari) mentre vale (-1) se sono di classe diversa;
il valore del prodotto associato non dipende dall’ordine dei suoi fattori (contrariamente a quanto si potrebbe pensare per la presenza del fattore $(-1)^{h+k}$ );
due prodotti associati alla stessa matrice sono distinti quando differiscono per almeno uno dei fattori;
il numero totale dei prodotti associati ad una matrice di ordine $n$ è pari a $n!$ (in quanto per ottenere tutti i prodotti associati è sufficiente tenere fissa la permutazione $P_h=(h_1, h_2, ..., h_n)$ dei primi indici e far variare in tutti i modi possibili la permutazione $P_k=(k_1, k_2, ..., k_n)$ dei secondi o viceversa).