Si definisce prodotto associato ad una matrice quadrata di ordine
, l’espressione
dove e
sono due permutazioni (distinte o coincidenti) dei primi
numeri naturali
e
sono il numero totale delle inversioni rispettivamente di
.
Poiché sia i primi indici che i secondi di ciascun fattore della precedente espressione sono tutti diversi fra di loro, il prodotto associato ad una matrice è caratterizzato dal fatto che due qualunque dei suoi fattori non possono stare sulla stessa riga o sulla stessa colonna della matrice .
Si noti che:
- il fattore
vale 1 se le permutazioni
sono della stessa classe (entrambe pari o entrambe dispari) mentre vale (-1) se sono di classe diversa;
- il valore del prodotto associato non dipende dall’ordine dei suoi fattori (contrariamente a quanto si potrebbe pensare per la presenza del fattore
);
- due prodotti associati alla stessa matrice sono distinti quando differiscono per almeno uno dei fattori;
- il numero totale dei prodotti associati ad una matrice di ordine
è pari a
(in quanto per ottenere tutti i prodotti associati è sufficiente tenere fissa la permutazione
dei primi indici e far variare in tutti i modi possibili la permutazione
dei secondi o viceversa).