determinante di una matrice quadrata

Si definisce determinante di una matrice A quadrata di ordine n con n \geq 2  (o anche determinante di ordine n) la somma di tutti gli n! prodotti associati ad A fra loro distinti.

Il determinante si indica con det A oppure con il simbolo:

    \[\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&...&a_{1n} \\ a_{21}&a_{22}&...&a_{2n} \\ \vdots &\vdots &...&\vdots \\ a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn} \end{vmatrix}.\]

Poiché per avere tutti i prodotti associati ad A basta tenere fissa la prima permutazione – ponendola per esempio uguale alla permutazione fondamentale (1, 2, ... , n) – e fare variare in tutti i modi possibili la seconda (o viceversa), si ha che:

    \[det A=\sum_{k_1, k_2, ... , k_n}{(-1)^{k}a_{1k_1} a_{2k_2} ... a_{nk_n}}\]

oppure, in modo del tutto equivalente

    \[det A=\sum_{h_1, h_2, ... , h_n}{(-1)^{h}a_{h_11} a_{h_22}  ...  a_{h_nn}}.\]

Da notare che se n=1 si pone det A=a_{11} mentre se n=2 si ottiene facilmente det A=a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}.

Nel caso in cui n=3 il determinante di A è dato dall’espressione

    \[(a_{11} a_{22} a_{33} +a_{12} a_{23}a_{31} +a_{13}a_{21}a_{32})-(a_{13} a_{22}  a_{31} +a_{11}a_{23}a_{32} +a_{12}a_{21}a_{33})\]

che può essere facilmente ottenuta applicando la regola di Sarrus.