limite infinito di una funzione in un punto

Si dice che una funzione $f(x)$ definita in un insieme $A$ escluso, al più, il punto $x_0$ ha limite uguale a $+\infty \ (-\infty)$ quando $x$ si approssima al punto $x_0$ (con $x_0$ punto di accumulazione di $A$ ), ovvero

$\lim_{x\to\ x_0}f(x)=+\infty \ (-\infty)$

se:

DEFINIZIONE 1: qualunque sia la successione $x_n$ convergente a $x_0$ , con $x_n$ diverso da $x_0$ e appartenente all’insieme $A$ per qualunque valore dell’indice $n$ , risulta che la successione $f(x_n)$ diverge a $+\infty \ (-\infty)$ ;

DEFINIZIONE 2: comunque scelto un numero $M>0$ , esiste in corrispondenza un numero $\delta>0$ tale che qualunque sia il punto $x$ appartenente all’insieme $A-\{x_0\}$ e all’intorno $|x-x_0|<\delta$ si abbia $f(x)>M \ (<-M)$ .