limite finito di una funzione in un punto

Si dice che una funzione f(x) definita in un insieme A escluso, al più, il punto x_0 ha limite uguale a l quando x si approssima al punto x_0 (con x_0 punto di accumulazione di A), ovvero

    \[\lim_{x\to\ x_0}f(x)=l\]

se:

DEFINIZIONE 1: qualunque sia la successione x_n convergente a x_0, con x_n diverso da x_0 e appartenente all’insieme A per qualunque valore dell’indice n, risulta che la successione f(x_n) converge al numero l;

DEFINIZIONE 2: comunque scelto un numero \varepsilon>0, esiste in corrispondenza un numero \delta>0 tale che qualunque sia il punto x appartenente all’insieme A-\{x_0\} e all’intorno |x-x_0|<\delta si abbia |f(x)-l|<\varepsilon.