limite finito di una funzione all’infinito

Si dice che una funzione f(x) definita in un insieme A illimitato superiormente (inferiormente) ha limite uguale a l all’infinito , ovvero

    \[\lim_{x\to\ + \infty \ (-\infty)}f(x)=l\]

se:

DEFINIZIONE 1: qualunque sia la successione x_n divergente a +\infty \ (-\infty), con x_n appartenente all’insieme A per qualunque valore dell’indice n, risulta che la successione f(x_n) converge al numero l;

DEFINIZIONE 2: comunque scelto un numero \varepsilon>0, esiste in corrispondenza un numero k tale che qualunque sia il punto xappartenente all’insieme A e maggiore di k (minore di k) si abbia |f(x)-l|< \varepsilon.