limite della funzione logaritmo

La funzione logaritmo \log_a{x} è definita nell’intervallo (0, +\infty); i valori del limite della funzione \log_a{x} agli estremi del suo intervallo di definizione sono i seguenti:

    \[\lim_{x\to\ 0^+}\log_a{x}=-\infty; \quad \lim_{x\to\ +\infty}\log_a{x}=+\infty \quad \texterm{se} \quad a>1;\]

    \[\quad  \lim_{x\to\ 0^+}\log_a{x}=+\infty; \quad \lim_{x\to\ +\infty}\log_a{x}=-\infty \quad \texterm{se} \quad 0<a<1.\]

Sono riportati in figura i grafici della funzione logaritmo per a>1 (curva di colore blu) e per 0<a<1 (curva di colore rosso).

Più in generale, se f(x) è una funzione positiva in un qualunque punto x appartenente all’insieme I-\{x_0\} dove I è un intorno del punto x_0 si ha

    \[\lim_{x\to\ x_0}\log_a{f(x)}=+\infty\]

se a>1 e per x\rightarrow x_0 la funzione f(x) ammette limite +\infty oppure se 0<a<1 e la funzione ammette limite l=0; si ha invece 

    \[\lim_{x\to\ x_0}\log_a{f(x)}=-\infty\]

se a>1 e per x\rightarrow x_0 la funzione f(x) ammette limite l=0 oppure se 0<a<1 e la funzione ammette limite +\infty.