limite della funzione esponenziale all'infinito

La funzione esponenziale $a^x$ è definita nell’intervallo $(-\infty, +\infty)$ ; i valori del limite della funzione $a^x$ agli estremi del suo intervallo di definizione (limiti all’infinito) sono i seguenti:

$\lim_{x\to\ +\infty}a^x=+\infty; \quad \lim_{x\to\ -\infty}a^x=0 \quad \texterm{se} \quad a>1;$

$\quad \lim_{x\to\ +\infty}a^x=0; \quad \lim_{x\to\ -\infty}a^x=+\infty \quad \texterm{se} \quad 0<a<1.$

Sono riportati in figura i grafici della funzione esponenziale per $a>1$ (curva di colore blu) e per $0<a<1$ (curva di colore rosso).

Più in generale, si ha

$\lim_{x\to\ x_0}a^{f(x)}=+\infty$

se $a>1$ e per $x\rightarrow x_0$ la funzione $f(x)$ ammette limite $+\infty$ oppure se $0<a<1$ e la funzione ammette limite $-\infty$ ; si ha invece

$\lim_{x\to\ x_0}a^{f(x)}=0$

se $a>1$ e per $x\rightarrow x_0$ la funzione $f(x)$ ammette limite $-\infty$ oppure se $0<a<1$ e la funzione ammette limite $+\infty$ .