limite della funzione esponenziale

La funzione esponenziale a^x è definita nell’intervallo (-\infty, +\infty); i valori del limite della funzione a^x agli estremi del suo intervallo di definizione (limiti all’infinito) sono i seguenti:

    \[\lim_{x\to\ +\infty}a^x=+\infty; \quad \lim_{x\to\ -\infty}a^x=0 \quad \texterm{se} \quad a>1;\]

    \[\quad  \lim_{x\to\ +\infty}a^x=0; \quad \lim_{x\to\ -\infty}a^x=+\infty \quad \texterm{se} \quad 0<a<1.\]

Sono riportati in figura i grafici della funzione esponenziale per a>1 (curva di colore blu) e per 0<a<1 (curva di colore rosso).

Più in generale, si ha

    \[\lim_{x\to\ x_0}a^{f(x)}=+\infty\]

se a>1 e per x\rightarrow x_0 la funzione f(x) ammette limite +\infty oppure se 0<a<1 e la funzione ammette limite -\infty; si ha invece

    \[\lim_{x\to\ x_0}a^{f(x)}=0\]

se a>1 e per x\rightarrow x_0 la funzione f(x) ammette limite -\infty oppure se 0<a<1 e la funzione ammette limite +\infty.