legame tra limite di funzione e limite di successione

Vale il seguente TEOREMA:

(IPOTESI) se, qualunque sia la successione $x_n$ convergente a $x_0$ , con $x_n$ diverso da $x_0$ e appartenente all’insieme $A$ per qualunque valore dell’indice $n$ , risulta che la successione $f(x_n)$ converge al numero $l$ , allora si ha che

(TESI) comunque scelto un numero $\varepsilon>0$ , esiste in corrispondenza un numero $\delta>0$ tale che qualunque sia il punto $x$ appartenente all’insieme $A-\{x_0\}$ e all’intorno $|x-x_0|<\delta$ si ha $|f(x)-l|<\varepsilon$ ovvero si ha che

$\lim_{x\to\ x_0}f(x)=l.$

Il suddetto teorema è valido anche scambiando l’ipotesi con la tesi.