legame tra limite di funzione e limite di successione

Vale il seguente TEOREMA:

(IPOTESI) se, qualunque sia la successione x_n convergente a x_0, con x_n diverso da x_0 e appartenente all’insieme A per qualunque valore dell’indice n, risulta che la successione f(x_n) converge al numero l, allora si ha che

(TESI) comunque scelto un numero \varepsilon>0, esiste in corrispondenza un numero \delta>0 tale che qualunque sia il punto x appartenente all’insieme A-\{x_0\} e all’intorno |x-x_0|<\delta si ha |f(x)-l|<\varepsilon ovvero si ha che 

    \[\lim_{x\to\ x_0}f(x)=l.\]

Il suddetto teorema è valido anche scambiando l’ipotesi con la tesi.