infiniti e confronto fra infiniti

Se $f(x)$ è una funzione definita in un intorno $I$ di $x_0$ privato al più del punto $x_0$ , si dice che la funzione $f(x)$ è infinita oppure che è un infinito per $x \rightarrow x_0$ (oppure $x \rightarrow \infty$ ) se si ha

$\lim_{x\to\ x_0}f(x)=\infty \quad (\lim_{x\to\ \infty}f(x)=\infty).$

Se $f(x)$ e $g(x)$ sono due funzioni infinite ed esiste il limite

$\lim_{x\to\ x_0} \bigg | \frac{f(x)}{g(x)}\bigg|=l \quad \bigg(\lim_{x\to\ \infty}\bigg | \frac{f(x)}{g(x)}\bigg|=l \bigg)$

si dice che per $x \rightarrow x_0 \quad (x \rightarrow \infty)$ :

$f(x)$ è infinita di ordine superiore rispetto a $g(x)$ se $l=+\infty$ ;
$g(x)$ è infinita di ordine superiore rispetto a $f(x)$ se $l=0$ ;
$f(x)$ e $g(x)$ sono infinite dello stesso ordine se $l \neq 0$ .

Se inoltre esiste un numero reale non negativo $\alpha$ tale che si abbia

$\lim_{x\to\ x_0}\frac{|f(x)|}{|g(x)|^\alpha}=l \neq 0 \quad \bigg(\lim_{x\to\ \infty}\frac{|f(x)|}{|g(x)|^\alpha}=l \neq 0 \bigg)$

si dice che la funzione $f(x)$ è un infinito di ordine $\alpha$ rispetto a $g(x)$ .