infinitesimi e confronto fra infinitesimi


Se f(x) è una funzione definita in un intorno I di x_0 privato al più del punto x_0 , si dice che la funzione f(x) è infinitesima oppure che è un infinitesimo per x \rightarrow x_0 (oppure x \rightarrow \infty) se si ha

    \[\lim_{x\to\ x_0}f(x)=0 \quad (\lim_{x\to\ \infty}f(x)=0).\]

Se f(x) e g(x) sono due funzioni infinitesime ed esiste il limite

    \[\lim_{x\to\ x_0} \bigg | \frac{f(x)}{g(x)}\bigg|=l \quad \bigg(\lim_{x\to\ \infty}\bigg | \frac{f(x)}{g(x)}\bigg|=l \bigg)\]

si dice che per x \rightarrow x_0 \quad (x \rightarrow \infty):

  • f(x) è infinitesima di ordine superiore rispetto a g(x) se l=0;
  • g(x) è infinitesima di ordine superiore rispetto a f(x) se l=+\infty;
  • f(x) e g(x) sono infinitesime dello stesso ordine se l \neq 0.

Se inoltre esiste un numero reale non negativo \alpha tale che si abbia

    \[\lim_{x\to\ x_0}\frac{|f(x)|}{|g(x)|^\alpha}=l \neq 0 \quad \bigg(\lim_{x\to\ \infty}\frac{|f(x)|}{|g(x)|^\alpha}=l \neq 0 \bigg)\]

si dice che f(x) è un infinitesimo di ordine \alpha rispetto a g(x).