integrazione delle funzioni razionali

Una funzione razionale h(x) è data dal rapporto di due polinomi f(x), g(x) ovvero

    \[h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{a_n x^n +a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0}{b_m x^m +b_{m-1} x^{m-1} + \cdots + b_1 x + b_0} \quad m, n \in \mathbb N.\]

Se n \geq m si esegue la divisione dei due polinomi e quindi, indicando con q(x), r(x) rispettivamente il quoziente e il resto della divisione, si ottiene

    \[\frac{f(x)}{g(x)}=q(x)+\frac{r(x)}{g(x)}\]

nella quale evidentemente il grado del polinomio resto r(x) è inferiore al grado del polinomio divisore g(x); volendo determinare l’integrale indefinito della funzione razionale h(x), possiamo quindi applicare la proprietà di linearità dell’integrale indefinito e scrivere

    \[\int \frac{f(x)}{g(x)}dx=\int q(x)dx + \int \frac{r(x)}{g(x)}dx\]

riconducendo così il calcolo dell’integrale indefinito della funzione razionale alla somma dell’integrale di un polinomio, il cui calcolo è immediato, e dell’integrale di una funzione razionale – avente il grado del polinomio al numeratore inferiore al grado del polinomio al denominatore – il cui calcolo risulta in genere più agevole rispetto al calcolo dell’integrale della funzione h(x).