somma integrale superiore e inferiore

Se f(x) è una funzione limitata nell’intervallo chiuso [a, b] appartenente all’insieme dei numeri reali \mathbb R, esistono due costanti m, M tali che per qualunque punto x \in [a, b] si ha m \leq f(x) \leq M.

Per ogni partizione P dell’intervallo [a, b] chiamiamo m_k l’estremo inferiore e M_k l’estremo superiore della funzione f(x) nell’intervallo chiuso [x_{k-1}, x_k]; le quantità

    \[s(P, f)=\sum_{k=1}^{n}m_k(x_k-x_{k-1}),\]

    \[S(P, f)=\sum_{k=1}^{n}M_k(x_k-x_{k-1})\]

vengono rispettivamente definite somma integrale inferiore e somma integrale superiore della funzione f(x) per la partizione P di [a, b]poiché per qualsiasi valore di k si ha che m_k \leq M_k, dalle precedenti definizioni si deduce che per qualunque partizione  P di [a, b] si avrà

    \[s(P, f) \leq S(P, f).\]