integrale improprio esteso ad un intervallo illimitato

Sia f(x) una funzione continua e non negativa.

Si definisce integrale improprio della funzione f(x) esteso all’intervallo [a, +\infty) il limite

    \[\int_{a}^{+\infty}f(x)dx=\lim_{b\to\ +\infty}\int_{a}^{b}f(x)dx.\]

Si definisce integrale improprio della funzione f(x) esteso all’intervallo (-\infty, b] il limite

    \[\int_{-\infty}^{b}f(x)dx=\lim_{a\to\ -\infty} \int_{a}^{b}f(x)dx.\]

Si definisce integrale improprio della funzione f(x) esteso all’intervallo (-\infty, +\infty) la somma di integrali impropri

    \[\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=\int_{-\infty}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{+\infty}f(x)dx\]

dove c è un punto qualsiasi dell’intervallo (-\infty, +\infty).

L’integrale improprio esteso ad un intervallo illimitato di una funzione è detto convergente se il limite è finito, mentre è detto divergente se il limite è +\infty.