integrale improprio esteso ad un intervallo illimitato

Sia $f(x)$ una funzione continua e non negativa.

Si definisce integrale improprio della funzione $f(x)$ esteso all’intervallo $[a, +\infty)$ il limite

$\int_{a}^{+\infty}f(x)dx=\lim_{b\to\ +\infty}\int_{a}^{b}f(x)dx.$

Si definisce integrale improprio della funzione $f(x)$ esteso all’intervallo $(-\infty, b]$ il limite

$\int_{-\infty}^{b}f(x)dx=\lim_{a\to\ -\infty} \int_{a}^{b}f(x)dx.$

Si definisce integrale improprio della funzione $f(x)$ esteso all’intervallo $(-\infty, +\infty)$ la somma di integrali impropri

$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=\int_{-\infty}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{+\infty}f(x)dx$

dove $c$ è un punto qualsiasi dell’intervallo $(-\infty, +\infty)$ .

L’integrale improprio esteso ad un intervallo illimitato di una funzione è detto convergente se il limite è finito, mentre è detto divergente se il limite è $+\infty$ .