integrale improprio di una funzione non limitata

Se f(x) è una funzione non negativa, continua in [a, b) e divergente nell’estremo b, si definisce integrale improprio della funzione f(x) esteso all’intervallo [a, b) il limite

    \[\int_{a}^{b} f(x)dx=\lim_{h\to\ 0^+} \int_{a}^{(b-h)} f(x)dx.\]

Se f(x) è una funzione non negativa, continua in (a, b] e divergente nell’estremo a, si definisce integrale improprio della funzione f(x) esteso all’intervallo (a, b] il limite

    \[\int_{a}^{b} f(x)dx=\lim_{h\to\ 0^+} \int_{(a+h)}^{b} f(x)dx.\]

Se f(x) è una funzione non negativa, continua in (a, b) e divergente negli estremi a, b, si definisce integrale improprio della funzione f(x) esteso all’intervallo (a, b) il limite

    \[\int_{a}^{b} f(x)dx=\lim_{h\to\ 0^+, \delta\to\ 0^+} \int_{(a+h)}^{(b-\delta)} f(x)dx.\]

L’integrale improprio esteso ad un intervallo limitato di una funzione non limitata è detto convergente se il limite è finito, mentre è detto divergente se il limite è +\infty.