Indichiamo con gli insiemi numerici descritti rispettivamente dalle somme integrali inferiori e dalle somme integrali superiori al variare delle partizioni
dell’intervallo
.
Si dice che la funzione è integrabile secondo Riemann (R-integrabile) in
se esiste un unico elemento di separazione
tra gli insiemi
; l’elemento
si chiama integrale definito di
in
e si indica con il simbolo
più precisamente, posto , se risulta
allora la funzione
è integrabile secondo Riemann e si ha
Se è una funzione continua in
e
è una primitiva di
, l’integrale definito della funzione
in
si calcola attraverso la seguente formula fondamentale del calcolo integrale:
Si noti che si ha:
Da un punto di vista geometrico, se è una funzione non negativa e integrabile, si ha
dove rappresenta l’area
del rettangoloide
delimitato dalla curva della
, dall’asse delle ascisse
e dalle due rette parallele all’asse delle ordinate
passanti per gli estremi dell’intervallo
; si noti che se la funzione
è negativa, si ha