integrale definito e suo significato geometrico

Indichiamo con $A={s(P)}, B={S(P)}$ gli insiemi numerici descritti rispettivamente dalle somme integrali inferiori e dalle somme integrali superiori al variare delle partizioni $P$ dell’intervallo $[a, b]$ .

Si dice che la funzione $f(x)$ è integrabile secondo Riemann (R-integrabile) in $[a, b]$ se esiste un unico elemento di separazione $c$ tra gli insiemi $A={s(P)}, B={S(P)}$ ; l’elemento $c$ si chiama integrale definito di $f(x)$ in $[a, b]$ e si indica con il simbolo

$\int_{a}^{b} f(x)dx;$

più precisamente, posto $s(f)=\sup [s(P)], S(f)=\inf [S(P)]$ , se risulta $s(f)=S(f)$ allora la funzione $f(x)$ è integrabile secondo Riemann e si ha

$c=s(f)=S(f)=\int_{a}^{b} f(x)dx.$

Se $f(x)$ è una funzione continua in $[a, b]$ e $G(x)$ è una primitiva di $f(x)$ , l’integrale definito della funzione $f(x)$ in $[a, b]$ si calcola attraverso la seguente formula fondamentale del calcolo integrale:

$\int_{a}^{b} f(x)dx=[G(x)]_{a}^{b}=G(b)-G(a).$

Si noti che si ha:

$\int_{a}^{b}f(x)dx=-\int_{b}^{a}f(x)dx;$

$\int_{a}^{a}f(x)dx=0.$

Da un punto di vista geometrico, se $f(x)$ è una funzione non negativa e integrabile, si ha

$\int_{a}^{b} f(x)dx=A(S)$

dove $A(S)$ rappresenta l’area $A$ del rettangoloide $S$ delimitato dalla curva della $f(x)$ , dall’asse delle ascisse $x$ e dalle due rette parallele all’asse delle ordinate $y$ passanti per gli estremi dell’intervallo $[a, b]$ ; si noti che se la funzione $f(x)$ è negativa, si ha

$A(S)=\int_{a}^{b} |f(x)|dx=- \int_{a}^{b} f(x)dx.$