integrale definito e suo significato geometrico

Indichiamo con A={s(P)}, B={S(P)} gli insiemi numerici descritti rispettivamente dalle somme integrali inferiori e dalle somme integrali superiori al variare delle partizioni P dell’intervallo [a, b].

Si dice che la funzione f(x) è integrabile secondo Riemann (R-integrabile) in [a, b] se esiste un unico elemento di separazione c tra gli insiemi A={s(P)}, B={S(P)}; l’elemento c si chiama integrale definito di  f(x) in [a, b] e si indica con il simbolo

    \[\int_{a}^{b} f(x)dx;\]

più precisamente, posto s(f)=\sup [s(P)], S(f)=\inf [S(P)], se risulta s(f)=S(f) allora la funzione f(x) è integrabile secondo Riemann e si ha

    \[c=s(f)=S(f)=\int_{a}^{b} f(x)dx.\]

Se f(x) è una funzione continua in [a, b] e G(x) è una primitiva di f(x), l’integrale definito della funzione f(x) in [a, b]  si calcola attraverso la seguente formula fondamentale del calcolo integrale:

    \[\int_{a}^{b} f(x)dx=[G(x)]_{a}^{b}=G(b)-G(a).\]

Si noti che si ha:

    \[\int_{a}^{b}f(x)dx=-\int_{b}^{a}f(x)dx;\]

    \[\int_{a}^{a}f(x)dx=0.\]

Da un punto di vista geometrico, se f(x) è una funzione non negativa e integrabile, si ha

    \[\int_{a}^{b} f(x)dx=A(S)\]

dove A(S) rappresenta l’area A del rettangoloide S delimitato dalla curva della f(x), dall’asse delle ascisse x e dalle due rette parallele all’asse delle ordinate y passanti per gli estremi dell’intervallo [a, b]; si noti che se la funzione f(x) è negativa, si ha

    \[A(S)=\int_{a}^{b} |f(x)|dx=- \int_{a}^{b} f(x)dx.\]