funzioni tangente e cotangente

Fissato un punto P sulla circonferenza goniometrica di centro O, chiamato x l’angolo formato dalla semiretta OP con l’asse delle ascisse e indicata con l la retta tangente alla stessa circonferenza goniometrica nel punto in cui questa interseca l’asse delle ascisse, si definisce tangente dell’angolo x – e si indica con \tan x – l’ordinata del punto Q di intersezione tra la tangente l e la semiretta OP.

Analogamente, indicata con m la retta tangente alla circonferenza goniometrica nel punto in cui questa interseca l’asse delle ordinate, si definisce cotangente dell’angolo x – e si indica con \cot x –  l’ascissa del punto R di intersezione tra la tangente m e la semiretta OP.

Facendo variare l’ascissa x fra -\infty e +\infty e interpretando ogni valore come l’angoloespresso in radianti – formato dalla semiretta OP con l’asse delle ascisse, possiamo  associare ad ogni valore della variabile  indipendente x il valore dell’ordinata del punto Q di intersezione tra la tangente l e la semiretta OP definendo così la funzione tangente (rappresentata dalla curva blu).

Associando invece ad ogni valore della variabile  indipendente x il valore dell’ascissa del punto R di intersezione tra la tangente m e la semiretta OP definiamo  la funzione cotangente (rappresentata dalla curva rossa).

Si deduce facilmente che le funzioni tangente e cotangente:

  • hanno come dominio l’insieme dei numeri reali ad eccezione dei punti di ascissa (\frac{\pi}{2}+k \pi) per la funzione tangente e k \pi per la funzione cotangente, dove k è un numero intero relativo;
  • hanno come codominio l’insieme dei numeri reali;
  • sono periodiche con periodo T=\pi (valore espresso in radianti dell’angolo piatto).

Le funzioni tangente e cotangente sono legate dalle seguenti relazioni:

  • \tan x = \cot (\frac {\pi}{2}-x);
  • \cot x = \tan (\frac {\pi}{2}-x);
  • \cot x = \frac {1}{\tan x}.

Le funzioni tangente e cotangente sono inoltre legate alle funzioni seno e coseno dalle relazioni

  • \tan x = \frac {\sin x}{\cos x} valida per x \neq \frac{\pi}{2}+k \pi (seconda relazione fondamentale della goniometria);
  • \cot x = \frac {\cos x}{\sin x} valida per x \neq k \pi (terza relazione fondamentale della goniometria).