funzione valore assoluto

Si definisce funzione valore assoluto (o modulo) – e si indica con $|x|$ – la funzione $f(x)$ – avente come dominio l’insieme $A$ – definita nel modo seguente:

$f(x)=|x|$ se $x \geq 0$ ;
$f(x)=-|x|$ se $x < 0$ .

Il grafico della funzione modulo è dato dall’unione del grafico della semiretta $y=x$ per $x \geq 0$ e del grafico della semiretta $y=-x$ per $x<0$ .

Dalla definizione di funzione valore assoluto discendono le seguenti proprietà:

$|x|=0 \Leftrightarrow x=0$ ;
$|x| \geq 0 \quad \forall x \in \mathbb R$ ;
$|-x|=|x| \quad \forall x \in \mathbb R$ ;
$|x_1 \cdot x_2|=|x_1| \cdot |x_2| \quad \forall x_1, x_2 \in \mathbb R$ ;
$|x_1/x_2|=|x_1|/|x_2| \quad \forall x_1, x_2 \in \mathbb R$ con $x_2 \neq 0$ ;
$|x_1+x_2| \leq |x_1|+|x_2| \quad \forall x_1, x_2 \in \mathbb R$ ;
$|x| \leq r \Leftrightarrow -r \leq x \leq r \quad \forall r \geq 0$ .