funzione logaritmo

Se la costante reale a è maggiore di zero e diversa da uno, la  funzione esponenziale  a^x è strettamente crescente  (a>1) o strettamente decrescente (a<1) e quindi risulta invertibile.

La funzione inversa della funzione esponenziale a^x viene chiamata funzione logaritmo e viene indicata con

    \[f(x)=\log_a x\]

dalla quale si deduce che il valore della funzione logaritmo è dato dall’esponente da assegnare alla base a per ottenere il valore dell’argomento x ovvero

    \[a^{\log_a x}=x ;\]

poiché la funzione logaritmo risulta definita per a>0, da questa relazione si deduce che risulta x>0 – cioè che il dominio della funzione logaritmo è l’insieme dei numeri reali positivi  – e che la funzione logaritmo si annulla per x=1.

Per a>1 (curva di colore blu), la funzione logaritmo  è una funzione strettamente crescente e positiva per x>1  mentre per 0<a<1 (curva di colore rosso) è una funzione strettamente decrescente e positiva per 0<x<1.

Se la base a=e, dove con e si è indicato il numero di Nepero, nella funzione logaritmo si omette l’indicazione della base.

Dalla definizione di funzione logaritmo discendono le seguenti proprietà:

  • \log_a (x_1 \cdot x_2)=\log_a x_1+\log_a x_2 \quad \forall x_1, x_2>0;
  • \log_a (x_1/x_2)=\log_a x_1-\log_a x_2 \quad \forall x_1, x_2>0;
  • \log_a x^b=b \cdot \log_a x \quad \forall x>0;
  • \log_b x=\log_a x/\log_a b \quad \forall x>0.