funzione logaritmo

Se la costante reale $a$ è maggiore di zero e diversa da uno, la funzione esponenziale $a^x$ è strettamente crescente $(a>1)$ o strettamente decrescente $(a<1)$ e quindi risulta invertibile.

La funzione inversa della funzione esponenziale $a^x$ viene chiamata funzione logaritmo e viene indicata con

$f(x)=\log_a x$

dalla quale si deduce che il valore della funzione logaritmo è dato dall’esponente da assegnare alla base $a$ per ottenere il valore dell’argomento $x$ ovvero

$a^{\log_a x}=x ;$

poiché la funzione logaritmo risulta definita per $a>0$ , da questa relazione si deduce che risulta $x>0$ – cioè che il dominio della funzione logaritmo è l’insieme dei numeri reali positivi – e che la funzione logaritmo si annulla per $x=1.$

Per $a>1$ (curva di colore blu), la funzione logaritmo è una funzione strettamente crescente e positiva per $x>1$ mentre per $0<a<1$ (curva di colore rosso) è una funzione strettamente decrescente e positiva per $0<x<1$ .

Se la base $a=e$ , dove con $e$ si è indicato il numero di Nepero, nella funzione logaritmo si omette l’indicazione della base.

Dalla definizione di funzione logaritmo discendono le seguenti proprietà:

$\log_a (x_1 \cdot x_2)=\log_a x_1+\log_a x_2 \quad \forall x_1, x_2>0$ ;
$\log_a (x_1/x_2)=\log_a x_1-\log_a x_2 \quad \forall x_1, x_2>0$ ;
$\log_a x^b=b \cdot \log_a x \quad \forall x>0$ ;
$\log_b x=\log_a x/\log_a b \quad \forall x>0$ .