derivata di una funzione e suo significato geometrico

Se $f(x)$ è una funzione definita nell’intervallo $(a, b)$ e $x_0$ è un punto di tale intervallo, si dice che $f(x)$ è derivabile nel punto $x_0$ se esiste ed è finito il limite per $h \rightarrow 0$ del rapporto incrementale della funzione nel punto $x_0$ ovvero il limite

$\lim_{h\to\ 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h};$

tale limite è la derivata di $f(x)$ nel punto $x_0$ e si indica con una delle seguenti notazioni

$f'(x), \quad y', \quad \frac{df}{dx}, \quad \frac {dy}{dx}, \quad Df(x), \quad Dy.$

Si dice che la funzione $f(x)$ è derivabile nell’intervallo aperto $(a, b)$ se è derivabile in ogni punto di tale intervallo.

Da un punto di vista geometrico, la derivata di una funzione $f(x)$ in un punto $x_0$ rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione nel punto di coordinate $[x_0, f(x_0)]$ .

Se il limite del rapporto incrementale esiste ma non è finito, ovvero si ha

$\lim_{h\to\ 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\pm \infty,$

la funzione non è derivabile in $x_0$ e il suo grafico presenta in $P_0[x_0, f(x_0)]$ un punto di flesso a tangente verticale.