derivata di una funzione e suo significato geometrico

Se f(x) è una funzione definita nell’intervallo (a, b) e x_0 è un punto di tale intervallo, si dice che f(x) è derivabile nel punto x_0 se esiste ed è finito il limite per h \rightarrow 0  del rapporto incrementale della funzione nel punto x_0 ovvero il limite

    \[\lim_{h\to\ 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h};\]

tale limite è la derivata di f(x) nel punto x_0 e si indica con una delle seguenti notazioni

    \[f'(x), \quad y', \quad \frac{df}{dx}, \quad  \frac {dy}{dx}, \quad Df(x), \quad Dy.\]

Si dice che la funzione f(x) è derivabile nell’intervallo aperto (a, b) se è derivabile in ogni punto di tale intervallo.

Da un punto di vista geometrico, la derivata di una funzione f(x) in un punto x_0 rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione nel punto di coordinate [x_0, f(x_0)].

Se il limite del rapporto incrementale esiste ma non è finito, ovvero si ha

    \[\lim_{h\to\ 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\pm \infty,\]

la funzione non è derivabile in x_0 e il suo grafico presenta in P_0[x_0, f(x_0)] un punto di flesso a tangente verticale.