derivate di ordine superiore

Se f(x) è una funzione derivabile in un intervallo I=(a, b), ad ogni punto x_0 dell’intervallo I corrisponde un valore reale della derivata f'(x_0); si viene così a determinare una nuova funzione f'(x) definita nello stesso intervallo I e denominata funzione derivata prima della funzione f(x).

Se anche la f'(x) è derivabile in I, possiamo calcolare per ogni punto x_0 di I la derivata della funzione derivata prima di f(x) ottenendo una nuova funzione che viene denominata funzione derivata seconda di f(x) e indicata con il simbolo f''(x).

E’ evidente che procedendo allo stesso modo si possono ottenere la derivata terza f'''(x), quarta f^{(4)}(x) ed in generale n-esima f^{(n)}(x) della funzione f(x).

ESEMPIO
La funzione f(x)=x^3-4x^2+4x+2 (curva di colore nero) è derivabile nell’intervallo (-\infty, +\infty) e ammette le derivate di ordine superiore:

f'(x)=3x^2-8x+4    (derivata prima di f(x) – grafico di colore rosso);
f''(x)=6x-8               (derivata seconda di f(x) – grafico di colore blu);
f'''(x)=6                        (derivata terza di f(x) – grafico di colore verde).