derivata di ordine superiore

Se $f(x)$ è una funzione derivabile in un intervallo $I=(a, b)$ , ad ogni punto $x_0$ dell’intervallo $I$ corrisponde un valore reale della derivata $f'(x_0)$ ; si viene così a determinare una nuova funzione $f'(x)$ definita nello stesso intervallo $I$ e denominata funzione derivata prima della funzione $f(x)$ .

Se anche la $f'(x)$ è derivabile in $I$ , possiamo calcolare per ogni punto $x_0$ di $I$ la derivata della funzione derivata prima di $f(x)$ ottenendo una nuova funzione che viene denominata funzione derivata seconda di $f(x)$ e indicata con il simbolo $f''(x)$ .

E’ evidente che procedendo allo stesso modo si possono ottenere la derivata terza $f'''(x)$ , quarta $f^{(4)}(x)$ ed in generale n-esima $f^{(n)}(x)$ della funzione $f(x)$ .

ESEMPIO
La funzione $f(x)=x^3-4x^2+4x+2$ (curva di colore nero) è derivabile nell’intervallo $(-\infty, +\infty)$ e ammette le derivate di ordine superiore:

$f'(x)=3x^2-8x+4$ (derivata prima di $f(x)$ – grafico di colore rosso);
$f''(x)=6x-8$ (derivata seconda di $f(x)$ – grafico di colore blu);
$f'''(x)=6$ (derivata terza di $f(x)$ – grafico di colore verde).