derivata destra e sinistra – punto angoloso e cuspide

Si definisce derivata destra f'_+(x_0) e derivata sinistra f'_-(x_0) della funzione f(x) nel punto x_0 rispettivamente il limite destro (h \rightarrow 0^+) e il limite sinistro (h \rightarrow 0^-) del rapporto incrementale della funzione, cioè

    \[f'_+(x_0)=\lim_{h\to\ 0^+} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h},\]

    \[f'_-(x_0)=\lim_{h\to\ 0^-} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h};\]

è evidente che affinché la funzione f(x) sia derivabile nel punto x_0 è necessario e sufficiente che si abbia

    \[f'_+(x_0)=f'_-(x_0).\]

Si dice che la funzione f(x) è derivabile nell’intervallo chiuso [a, b] se è derivabile in ogni punto x \in (a, b) ed inoltre ammette derivata destra nel punto x=a e derivata sinistra nel punto x=b.

Se invece si verifica che la derivata destra e sinistra non sono uguali, cioè f'_+(x_0) \neq f'_-(x_0), la funzione non è derivabile in x_0 ed il punto di coordinate [x_0; f(x_0)] viene definito punto angoloso se almeno una delle due è finita oppure cuspide se sono entrambe infinite.