derivata destra e sinistra - punto angoloso e cuspide

Si definisce derivata destra $f'_+(x_0)$ e derivata sinistra $f'_-(x_0)$ della funzione $f(x)$ nel punto $x_0$ rispettivamente il limite destro $(h \rightarrow 0^+)$ e il limite sinistro $(h \rightarrow 0^-)$ del rapporto incrementale della funzione, cioè

$f'_+(x_0)=\lim_{h\to\ 0^+} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h},$

$f'_-(x_0)=\lim_{h\to\ 0^-} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h};$

è evidente che affinché la funzione $f(x)$ sia derivabile nel punto $x_0$ è necessario e sufficiente che si abbia

$f'_+(x_0)=f'_-(x_0).$

Si dice che la funzione $f(x)$ è derivabile nell’intervallo chiuso $[a, b]$ se è derivabile in ogni punto $x \in (a, b)$ ed inoltre ammette derivata destra nel punto $x=a$ e derivata sinistra nel punto $x=b$ .

Se invece si verifica che la derivata destra e sinistra non sono uguali, cioè $f'_+(x_0) \neq f'_-(x_0)$ , la funzione non è derivabile in $x_0$ ed il punto di coordinate $[x_0; f(x_0)]$ viene definito punto angoloso se almeno una delle due è finita oppure cuspide se sono entrambe infinite.