insieme dei numeri reali e suoi sottoinsiemi

L’insieme dei numeri reali – indicato con il simbolo $\mathbb{R}$ – può essere definito come un insieme i cui elementi sono numeri:

privi di sviluppo decimale (interi);
con sviluppo decimale limitato o illimitato periodico (razionali);
con sviluppo decimale illimitato non periodico (irrazionali).

L’insieme dei numeri reali contiene come sottoinsiemi i numeri:

naturali – indicati con $\mathbb{N}$ – costituiti dagli elementi $\{0, 1, 2, ...\}$ ;
interi relativi – indicati con $\mathbb{Z}$ – costituiti dagli elementi $\{... , -2, -1, 0, 1, 2, ...\}$ ;
interi relativi non nulli– indicati con $\mathbb{Z^*}$ – costituiti dal sottoinsieme $\mathbb{Z}-\{0\}$ ;
razionali – indicati con $\mathbb{Q}$ – costituiti dagli elementi $\{p/q\}$ con $p, q \in \mathbb{Z}, q\neq0$ ;
razionali non nulli – indicati con $\mathbb{Q^*}$ – costituiti dal sottoinsieme $\mathbb{Q}-\{0\}$ ;
irrazionali – indicati con $\mathbb{I}$ – costituiti dai numeri con sviluppo decimale illimitato non periodico e quindi non rappresentabili mediante una frazione $\{p/q\}$ con $p, q \in \mathbb{Z}, q\neq0$ ;
reali non nulli – indicati con $\mathbb{R^*}$ – costituiti dal sottoinsieme $\mathbb{R}-\{0\}$ ;
reali positivi – indicati con $\mathbb{R^+}$ – costituiti dal sottoinsieme $\mathbb{R}-\{x\leq0\}$ ;
reali non negativi – indicati con $\mathbb{R}_0^+}$ – costituiti dal sottoinsieme $\mathbb{R}-\{x<0\}$ .

L’insieme esteso dei numeri reali – indicato con $\overline{\mathbb{R}}$ – si ottiene aggiungendo all’insieme $\mathbb{R}$ i due elementi $-\infty, +\infty$ ; si ha cioé

$\overline{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup\{-\infty, +\infty\}$ .

I numeri reali possono essere posti in corrispondenza biunivoca con i punti di una retta – detta retta reale – nel piano cartesiano.