insieme dei numeri reali e suoi sottoinsiemi


L’insieme dei numeri reali – indicato con il simbolo \mathbb{R} – può essere definito come un insieme i cui elementi sono numeri privi di sviluppo decimale (interi), numeri aventi uno sviluppo decimale limitato o illimitato periodico (razionali) e numeri aventi uno sviluppo decimale illimitato non periodico (irrazionali).
L’insieme dei numeri reali contiene come sottoinsiemi i numeri:

  • naturali – indicati con \mathbb{N} – costituiti dagli elementi \{0, 1, 2, ...\};
  • interi relativi – indicati con \mathbb{Z} – costituiti dagli elementi \{... , -2, -1, 0, 1, 2, ...\};
  • interi relativi non nulli– indicati con \mathbb{Z^*} – costituiti dal sottoinsieme \mathbb{Z}-\{0\};
  • razionali – indicati con \mathbb{Q} – costituiti dagli elementi \{p/q\} con p, q \in \mathbb{Z}, q\neq0;
  • razionali non nulli – indicati con \mathbb{Q^*} – costituiti dal sottoinsieme \mathbb{Q}-\{0\};
  • irrazionali – indicati con \mathbb{I} – costituiti dai numeri con sviluppo decimale illimitato non periodico e quindi non rappresentabili mediante una frazione \{p/q\} con p, q \in \mathbb{Z}, q\neq0;
  • reali non nulli – indicati con \mathbb{R^*} – costituiti dal sottoinsieme \mathbb{R}-\{0\};
  • reali positivi – indicati con \mathbb{R^+} – costituiti dal sottoinsieme \mathbb{R}-\{x\leq0\};
  • reali non negativi  – indicati con \mathbb{R}_0^+} – costituiti dal sottoinsieme \mathbb{R}-\{x<0\}.

L’insieme esteso dei numeri reali – indicato con \overline{\mathbb{R}} – si ottiene aggiungendo all’insieme \mathbb{R} i due elementi -\infty, +\infty; si ha cioé     

        \overline{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup\{-\infty, +\infty\}.

I numeri reali possono essere posti in corrispondenza biunivoca con i punti di una retta – detta retta reale – nel piano cartesiano.