insiemi illimitati

Se A è un insieme non vuoto illimitato superiormente, il suo estremo superiore E_s=\sup A è uguale a + \infty; ciò significa che, comunque scelto un numero reale positivo L, esiste sempre un elemento aappartenente all’insieme Amaggiore di L; in simboli:

    \[E_s=\sup A=+\infty \quad  \Leftrightarrow \quad  \forall L>0, \exists a \in A : a>L.\]

Se A è un insieme non vuoto illimitato inferiormente, il suo estremo inferiore E_i=\inf A è uguale a - \infty; ciò significa che, comunque scelto un numero reale negativo l, esiste sempre un elemento aappartenente all’insieme Aminore di l; in simboli:

    \[E_i=\inf A=-\infty \quad  \Leftrightarrow \quad  \forall l>0, \exists a \in A : a<l.\]

Utilizzando i simboli \+ \infty e - \infty, si può affermare che ogni insieme non vuoto di numeri reali ammette sia estremo superiore che estremo inferiore.