insiemi illimitati

Se $A$ è un insieme non vuoto illimitato superiormente, il suo estremo superiore $E_s=\sup A$ è uguale a $+ \infty$ ; ciò significa che, comunque scelto un numero reale positivo $L$ , esiste sempre un elemento $a$ – appartenente all’insieme $A$ – maggiore di $L$ ; in simboli:

$E_s=\sup A=+\infty \quad \Leftrightarrow \quad \forall L>0, \exists a \in A : a>L.$

Se $A$ è un insieme non vuoto illimitato inferiormente, il suo estremo inferiore $E_i=\inf A$ è uguale a $- \infty$ ; ciò significa che, comunque scelto un numero reale negativo $l$ , esiste sempre un elemento $a$ – appartenente all’insieme $A$ – minore di $l$ ; in simboli:

$E_i=\inf A=-\infty \quad \Leftrightarrow \quad \forall l>0, \exists a \in A : a<l.$

Utilizzando i simboli $\+ \infty$ e $- \infty$ , si può affermare che ogni insieme non vuoto di numeri reali ammette sia estremo superiore che estremo inferiore.