Detta operazione una legge che a ogni coppia ordinata
di elementi di un insieme
associa un elemento
dello stesso insieme
, si definisce gruppo un insieme non vuoto in cui è definita un’operazione che soddisfa le proprietà:
1) associativa, cioè
;
2) esistenza di un unico elemento neutro tale che,
, si abbia
;
3) esistenza, , di un unico elemento simmetrico
tale che
Sono esempi di gruppi gli insiemi con l’operazione di addizione – dove l’elemento neutro è 0 (elemento nullo) e l’elemento simmetrico di un numero
è il suo opposto
– e gli insiemi
con l’operazione di moltiplicazione– dove l’elemento neutro è 1 (unità) e l’elemento simmetrico di un numero
è il suo inverso
.
Un gruppo dicesi gruppo commutativo o abeliano se
vale l’ulteriore proprietà
(proprietà commutativa).
Sono esempi di gruppi commutativi gli insiemi .
Il numero degli elementi di un gruppo si dice ordine del gruppo.
Un gruppo si dice finito se l’ordine è un numero finito.