gruppo

Detta operazione (*) una legge che a ogni coppia ordinata (g_1, g_2) di elementi di un insieme G  associa un elemento (g_3) dello stesso insieme G, si definisce gruppo un insieme non vuoto in cui è definita un’operazione che soddisfa le proprietà:
1) associativa, cioè g_1*(g_2*g_3)=(g_1*g_2)*g_3   \forall g_1, g_2, g_3 \in G ;
2) esistenza di un unico elemento neutro e \in G tale che, \forall g \in G, si abbia g*e=e*g=g;
3) esistenza, \forall g \in G, di un unico elemento simmetrico g'\in G tale che g*g'=g'*g=e

Sono esempi di gruppi gli insiemi \mathbb{Z(+)}, \mathbb{Q(+)},\mathbb{R(+)} con l’operazione di addizione – dove l’elemento neutro è 0 (elemento nullo) e l’elemento simmetrico di un numero g è il suo opposto -g  – e gli insiemi  \mathbb{Q^*(\cdot)},\mathbb{R^*(\cdot)} con l’operazione di moltiplicazione– dove l’elemento neutro è 1 (unità) e l’elemento simmetrico di un numero g è il suo inverso g^-1.

Un gruppo G(*) dicesi gruppo commutativo o abeliano se \forall g_1, g_2 \in G vale l’ulteriore proprietà g_1*g_2=g_2*g_1 (proprietà commutativa).
Sono esempi di gruppi commutativi gli insiemi \mathbb{Z(+)}, \mathbb{Q(+)},\mathbb{R(+)}, \mathbb{R^*(\cdot)}.

Il numero degli elementi di un gruppo G(*) si dice ordine del gruppo.
Un gruppo si dice finito se l’ordine è un numero finito.