gruppo | mathnotes

Detta operazione $(*)$ una legge che a ogni coppia ordinata $(g_1, g_2)$ di elementi di un insieme $G$ associa un elemento $(g_3)$ dello stesso insieme $G$ , si definisce gruppo un insieme non vuoto in cui è definita un’operazione che soddisfa le proprietà:
1) associativa, cioè $g_1*(g_2*g_3)=(g_1*g_2)*g_3$ $\forall g_1, g_2, g_3 \in G$ ;
2) esistenza di un unico elemento neutro $e \in G$ tale che, $\forall g \in G$ , si abbia $g*e=e*g=g$ ;
3) esistenza, $\forall g \in G$ , di un unico elemento simmetrico $g'\in G$ tale che $g*g'=g'*g=e$

Sono esempi di gruppi gli insiemi $\mathbb{Z(+)}, \mathbb{Q(+)},\mathbb{R(+)}$ con l’operazione di addizione – dove l’elemento neutro è 0 (elemento nullo) e l’elemento simmetrico di un numero $g$ è il suo opposto $-g$ – e gli insiemi $\mathbb{Q^*(\cdot)},\mathbb{R^*(\cdot)}$ con l’operazione di moltiplicazione– dove l’elemento neutro è 1 (unità) e l’elemento simmetrico di un numero $g$ è il suo inverso $g^-1$ .

Un gruppo $G(*)$ dicesi gruppo commutativo o abeliano se $\forall g_1, g_2 \in G$ vale l’ulteriore proprietà $g_1*g_2=g_2*g_1$ (proprietà commutativa).
Sono esempi di gruppi commutativi gli insiemi $\mathbb{Z(+)}, \mathbb{Q(+)},\mathbb{R(+)}, \mathbb{R^*(\cdot)}$ .

Il numero degli elementi di un gruppo $G(*)$ si dice ordine del gruppo.
Un gruppo si dice finito se l’ordine è un numero finito.