estremo superiore ed estremo inferiore


Vale il seguente teorema di esistenza dell’estremo superiore:
“se A è un insieme non vuoto di numeri reali limitato superiormente, allora esiste il minimo dell’insieme dei maggioranti di A“.

Vale l’analogo teorema di esistenza dell’estremo inferiore:
“se A è un insieme non vuoto di numeri reali limitato inferiormente, allora esiste il massimo dell’insieme dei minoranti di A“.

In base ai teoremi precedenti, diciamo che se A è un insieme di numeri reali non vuoto e limitato superiormente, l’estremo superiore (E_s=\sup A) di A è il minimo dei maggioranti di A. Ciò equivale a dire che E_s è un maggiorante e che E_s-\varepsilon (con \varepsilon>0) non è un maggiorante ovvero che esiste qualche elemento dell’insieme A maggiore di E_s-\varepsilon.

Analogamente, diciamo che se A è un insieme di numeri reali non vuoto e limitato inferiormente, l’estremo inferiore (E_i=\inf A) di A è il massimo dei minoranti di A. Ciò equivale a dire che E_i è un minorante e che E_i+\varepsilon (con \varepsilon>0) non è un minorante ovvero che esiste qualche elemento dell’insieme A minore di E_i+\varepsilon.